Teorema di rappresentazione di Stone

Immagina l’algebra di Boole e l’algebra degli insiemi come due lingue che descrivono le stesse idee:

Viene dunque detto che per ogni Algebra di Boole $A$ finita, esiste un insieme (altrettanto finito) $X$, tale che allora $A$ è isomorfa all’Algebra di Boole.

Il termine “isomorfa”, è una parola del cazzo utilizzata dai matematici per dire “è la stessa identica cosa, ma con nomi diversi”.

Conseguenze del teorema:

1. Il numero di elementi del supporto.

La tupla dell’algebra di boole: $\mathcal{B}=\langle A,+,\cdot,^{\prime},0,1\rangle$ La stessa tupla isomorfa nell’algebra degli insiemi: $\mathcal{B}=\langle P(X),\cap,\cup,^\neg,\emptyset,X\rangle$ Il primo elemento di queste tuple sono rispettivamente: "$A$" e "$P(X)$", che sono come abbiamo visto in precedenza il supporto dell’algebra di Boole, un insieme contenente i valori che gli ingressi potranno assumere.

In questo caso, nell’algebra di Boole questi elementi sono $0$ e $1$, perciò dato che $A$ e $P(X)$ sono isomorfi, devono avere gli stessi elementi.

Possiamo dunque affermare che il numero di elementi del supporto è sempre una Potenza di 2 Infatti l’Algebra di Boole ha come elementi: $2^n$ <--- Ossia: $0$ e $1$.

2. I Diagrammi di Venn per dimostrare leggi dell’Algebra di Boole.

Per dimostrare una proprietà dell’Algebra di Boole è sufficiente dimostrare la validità dell’equivalente isomorfa Algebra degli insiemi (o delle classi), ad esempio, con i diagrammi di Venn.

Quindi se vuoi dimostrare una legge astratta come: $a+(a\cdot b)=a$ (Legge dell’assorbimento), non devi impazzire con i postulati, puoi semplicemente tradurla nel mondo degli insiemi: $A\cup(A\cap B)=A$ Ora puoi anche disegnare un diagramma di Venn e vedere che l’unione tra $A$ e l’intersezione di $A$ e $B$ è semplicemente l’insieme $A$. Se la versione disegnata con il diagramma di Venn è vera, allora il Teorema di rappresentazione di Stone garantisce che sia vera anche nella versione secondo l’Algebra di Boole.

Continua con… L’Algebra di Commutazione.