Algebra di Commutazione

L’intuizione di Claude Shannon

Claude Shannon, durante il suoi studi universitari al MIT (Massachusets Institute of Technology), venne assegnato a lavorare sull’Analizzatore Differenziale di Bush (calcolatore meccanico per il calcolo di equazioni differenziali).

Nell’Analizzatore vi era collegato un circuito composto da oltre 100 relè. Così Shannon, alla ricerca di un modo che permettesse la sintesi di tale circuito, intuì come l’Algebra di Boole permettesse di definire un modello formale per l’analisi e la sintesi di un sistema simile al circuito collegato all’analizzatore.

Al termine di questi studi, Shannon pubblicò la sua tesi di master, nel quale dimostrò come i simboli logici di Boole potessero essere trattati come una serie di interruttori accesi o spenti, permettendone quindi un’applicazione ai circuiti elettrici.

Definizione dell’Algebra di Commutazione

L’Algebra di Commutazione (Switching Algebra) è un’Algebra di Boole: $\mathcal{B}=\langle A,+,\cdot,^{\prime},0,1\rangle$

• Nel quale il supporto $A$ è un insieme costituito dai soli valori: $0$ e $1$ ($2^1$).$A = \{ 0, 1 \}$
• Ciascuna variabile/ingresso può quindi assumere il valore di $0$ oppure $1$.

Approfondisci: Le Variabili Booleane.

Gli operatori dell’Algebra di Commutazione:

Vediamo di seguito le definizioni degli operatori utilizzati nell’Algebra di Commutazione attraverso sia Tabelle di verità che Mappe di Karnaugh:

• OR.
• XOR <--- L’OR esclusivo, significa che vale 0 se i due input sono diversi dal valore neutro dell’operatore. Nel caso dell’OR, lo “XOR” restituirebbe $0$ anche quando i due input dati all’operatore sono entrambi $1$.
• AND.
• NOT - Dal quale derivano logicamente:
  • NOR <--- Un’OR negato (quindi “specchiato”).
  • XNOR <--- Uno XOR negato (“specchiato”), che sarebbe uguale ad un eventuale “XAND” se esistesse.
  • NAND <--- Un AND negato (“specchiato”).

Tabelle di verità:

Mappe di Karnaugh:

Continua con… Le Proprietà dell’Algebra di Boole.