Algebra della Logica

Connettivi Logici

Un connettivo in logica è un operatore logico che funziona come da “colla” o “grammatica” per comporre frasi complesse composte da atomi. Un atomo nella logica proposizionale, è una frase che ci dà informazioni semplici come: “Piove.” ($p$), “Ho l’ombrello.” ($q$).

È dunque importante all’interno della logica proposizionale conoscere tutti i connettivi logici.

Classificazione logica di una formula

Per classificare la verità di una formula logica, abbiamo bisogno di capire se è:

• Tautologica (T) <— Sempre Vera ($1$).
• Inconsistente (I) <— Sempre Falsa ($0$).
• Soddisfacibile (S) <— Né sempre Vera o Falsa, quindi c’è almeno una affermazione Vera (almeno un $1$).

Il metodo migliore per affermare queste classificazioni è attraverso una Tabella di Verità.

Esempio Tabella di Verità per classificare l’affermazione: $(p \wedge \neg q) \rightarrow (p \wedge q)$

• È Tautologica (T)? - No, non è sempre Vera ($1$).
• È Inconsistente (I)? - No, non è sempre Falsa ($0$).
• **È Soddisfacibile (S)? - Si! Non è né sempre Vera e né sempre Falsa ma c’è almeno un caso in cui la formula è Vera.

Dunque la formula $(p \wedge \neg q) \rightarrow (p \wedge q)$ è classificabile come S.

Confronto di formule

Fino ad’ora abbiamo solo classificato se una frase/formula è vera o falsa, tuttavia è anche possibile analizzare come si comportano due frasi/formule l’una rispetto all’altra. Dunque, è possibile confrontare due formule definendo la relazione che vi è tra loro.

Utilizziamo i seguenti simboli per definire la relazione logica tra le due formule e quindi per confrontarle:

Esempio Tabella di Verità per confrontare:

• **Formula $A$: $(p \rightarrow q) \wedge r$
• **Formula $B$: $(p \rightarrow q) \rightarrow r$

Una volta riempita la Tabella di Verità, analizziamola per definire la relazione logica tra le due formule:

1. Sono Equivalenti ($\equiv$) ?
   1. Quinto rigo: $A = 0$ mentre $B = 1$.
   2. Quindi **No, $A$ e $B$ non sono equivalenti.
2. C’è Conseguenza ($A \models B$) ?
   1. Controlliamo tutte le righe dove $A = 1$: ---> Righe 2, 4, 8.
   2. In tutte queste righe $B = 1$, quindi dove $A = 1$ allora $A = B$.
   3. Quindi **Si, c’è Conseguenza $A \models B$.
3. C’è Non Conseguenza ($A \not\models B$) ?
   1. Ovvio che No.
   2. Di base, se c’è Conseguenza, non può esserci Non Conseguenza.

Risposta Finale: Tra la formula $A$ e la formula $B$, c’è Conseguenza: $A \models B$.

Continua con… La Formalizzazione e Validità.