Postulati di Huntington

Sono le regole fondamentali per l’Algebra di Boole, se un sistema rispetta queste regole allora è Algebra di Boole.

1. Commutatività di $+$ e $\cdot$

È praticamente uguale alla commutatività della somma e del prodotto nell’algebra tradizionale.

• $a + b = b + a$
• $a \cdot b = b \cdot a$

Come si può notare, sia con l’OR che con l’AND il risultato rimane invariato pur cambiando l’ordine.

2. Esistenza degli Elementi Neutri

È come con l’algebra matematica, ad esempio, nell’addizione normale $0$ è un elemento neutro, in quanto sommandolo ad altri numeri non ci saranno cambiamenti del risultato. Lo stesso vale con l’$1$ che è elemento neutro nella moltiplicazione, infatti moltiplicando qualunque numero per $1$ il risultato non cambia.

• $a+0=a$ <--- $0$ con l’OR.
• $a⋅1=a$ <--- $1$ con l’AND.

3. Distributività di $+$ e $\cdot$

Gli operatori $+$ e $\cdot$ sono distributivi in modo simmetrico, cioè non solo l’OR si distribuisce sull’AND, ma anche l’AND si distribuisce sull’OR. Questa è una nota differenza con l’algebra tradizionale, dove la somma non si distribuisce sul prodotto.

• L’AND si distribuisce sull’OR (Possibile nell’algebra tradizionale): $a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
• L’OR si distribuisce sull’AND (Impossibile nell’algebra tradizionale): $a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$

4. Esistenza del Complemento

Questo postulato ci dice che per ogni elemento $a$ esiste anche un elemento $a^{\prime}$ ($a$ negato), chiamato “complemento” o “NOT”.

Quindi:

• $a + a^{\prime} = 1$
• $a \cdot a^{\prime} = 0$

Perché? Il motivo è semplice, a prescindere da quale sia il valore di $a$, essendo commutato con la sua negazione, in base all’operatore booleano usato il risultato rimarrà invariato grazie all’esistenza degli elementi neutri.

Infatti:

• Se $a=0$, il suo complemento $a^{\prime}$ è $1$. Verifichiamo:

  • $0+1=1$ <— In quanto lo $0$ è elemento neutro dell’OR.
  • $0⋅1=0$ <— In quanto l’$1$ è l’elemento neutro dell’AND.

• Se $a=1$, il suo complemento $a^{\prime}$ è $0$. Verifichiamo:

  • $1+0=1$ <— In quanto lo $0$ è elemento neutro dell’OR.
  • $1⋅0=0$ <— In quanto l’$1$ è l’elemento neutro dell’AND.

In questi esempi per verificare $a + a^{\prime} = 1$ e $a \cdot a^{\prime} = 0$, viene anche dimostrata la proprietà commutativa dell’OR e dell’AND.

Continua con: Il Principio di Dualità.